Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике

Примеры вычисления интегралов Нахождение неопределённых интегралов Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Площадь криволинейной трапеции Формула замены переменного в определённом интеграле

Интегрирование функции Примеры решений

Определение

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и .

Пример Вычислим интеграл

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ \sin x$ и $ \cos x$ .

Вычислим интеграл

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и

Пример Вычислим интеграл

Найдём интеграл

Пример Вычислим интеграл

Примеры решения задач

Найдём интеграл

Пример Вычислим интеграл

Вычислим интеграл

Пример Вычислим интеграл

Некоторые типы неопределённых интегралов сводятся путём соответствующей замены к интегралам от рациональных функций. Рассмотрим три таких случая.

        Определение 2.1   Будем говорить, что функция $ f(x)$ рациональным образом зависит от выражения $ u(x)$ , если $ f(x)$ можно представить в виде
$\displaystyle f(x)=R(u(x)),$

где $ R(u)$  -- рациональная функция от переменного $ u$ .     

Например, функция

 

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin^2x+3\sin x+2}{\sin^2x+1}$

рациональным образом зависит от $ u=\sin x$ , а функция

 

$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-1}{e^{2x}-4}$

рациональным образом зависит от $ u=e^x$ .

Одночленом от двух переменных $ u$ и $ v$ назовём выражение вида $ Au^mv^n$ , где $ A=\mathrm{const}$ , а показатели степени $ m$ и $ n$  -- целые неотрицательные числа. Многочленом от двух переменных $ u$ и $ v$ назовём сумму конечного числа одночленом от этих двух переменных. (Считаем, что сумма может состоять и из одного слагаемого, так что каждый одночлен -- это частный случай многочлена.)

Например, $ u^2+v^2$ , $ 2uv$ , $ u^4-3u^3v+5uv^3-v^4$  -- многочлены от переменных $ u$ и $ v$ .

Рациональной функцией от двух переменных $ u$ и $ v$ назовём отношение двух многочленов от $ u$ и $ v$ :

 

$\displaystyle R(u,v)=\frac{P(u,v)}{Q(u,v)},$

где $ P(u,v)$ и $ Q(u,v)$  -- многочлены от $ u$ и $ v$ .

Например, функции

$\displaystyle \frac{2uv}{u^4+v^4},\ \frac{2u-5v}{u^2v+3uv+v-1}$ --

рациональные функции от $ u$ и $ v$ .

      

На главную