Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике

Примеры вычисления интегралов Нахождение неопределённых интегралов Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Площадь криволинейной трапеции Решение дифференциальных уравнений

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Приблеженное

Теорема

Определение

Теорема

Свойства определённого интеграла Из предыдущего может сложиться неверное впечатление, будто для интегрируемости функции на отрезке необходима её непрерывность. Это не так, и интегрируемыми могут быть и разрывные функции (но, конечно, не все). Достаточно широкий класс интегрируемых функций даёт следующая теорема.

Теорема

Линейность интеграла

Докажем теперь, что если $ f(x)$ и $ g(x)$ -- интегрируемые на $ [a;b]$ функции, то функция $ f(x)+g(x)$ тоже интегрируема и имеет место формула

Теорема Из интегрируемости функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ следует, что она интегрируема и на любом отрезке $ [a';b']\sbs[a;b]$ .

Следствие

Теорема

Теорема Пусть функция $ f(x)$ интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$ также интегрируема на $ [a;b]$ ,

Практикум по решению математических задач Пример 4. Вычислить двойной интеграл , когда область интегрирования D ограничена линиями y=2, y=x, y=1/x.

Интеграл с переменным верхним пределом

Теорема Функция $ \Phi(x)$ , определённая выше, непрерывна при всех $ x\in[a;b]$ для любой интегрируемой функции $ f$ .

Пример Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$

Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами

Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов Теперь, после изучения формулы Ньютона - Лейбница, мы можем, в принципе, найти определённый интеграл для любой функции, для которой умеем вычислить неопределённый интеграл, и для этого не нужно никаких дополнительных формул и правил. Однако для уменьшения громоздкости вычисления некоторых интегралов, полезно получить формулы для определённого интеграла в тех случаях, когда приходится применять замену переменного или формулу интегрирования по частям.

Рассмотрим задачу о нахождении площади плоской области $ \mathcal{D}$ , ограниченной на координатной плоскости $ xOy$ отрезком $ [a;b]$ оси $ Ox$ , графиком непрерывной функции $ y=f(x)>0$ , заданной на отрезке $ [a;b]$ , и двумя отрезками вертикальных прямых $ x=a$ и $ x=b$ , соединяющими точки оси $ Ox$ с точками графика (см. рис.).

Рис.3.1.


Заметим, что если графиком $ y=f(x)$ служит не прямая линия и не окружность, то в школьном курсе математики не было определено, что такое площадь $ S$ заданной области $ \mathcal{D}$ , так что для таких областей $ \mathcal{D}$ мы должны дать определение того, что такое площадь, и это определение должно быть согласовано с тем случаем, когда мы уже знаем, что такое площадь данной фигуры. Эту фигуру $ \mathcal{D}$ мы будем в общем случае называть криволинейной трапецией (считая параллельные вертикальные отрезки $ x=a$ и $ x=b$ её основаниями).

Сначала попробуем найти значение искомой площади приближённо. Для этого разделим область $ \mathcal{D}$ на узкие вертикальные полоски $ \mathcal{D}_1,\ \mathcal{D}_2,\dots,\mathcal{D}_n$ , проведя вертикальные линии $ x=x_1,\ x=x_2,\dots,\ x=x_{n-1}$ ; при этом мы будем считать, что $ {x_0=a<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b.}$ Тогда область $ \mathcal{D}_i$ лежит между прямыми $ x=x_{i-1}$ и $ x=x_i$ , где $ i=1,2,\dots,n$ . Обозначим длины отрезков между такими прямыми через $ h_i$ : $ h_i=x_i-x_{i-1}$ . Очевидно, что площадь $ S_i$ области $ \mathcal{D}_i$ лежит в пределах от $ \ul{S}_i=\ul{y}_ih_i$ до $ \ov{S}_i=\ov{y}_ih_i$ , где $ \ul{y}_i=\min\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ и $ \ov{y}_i=\max\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ (см. рис.), и примерно равна $ \wt S_i=f(\ov{x}_i)h_i$ , где $ \ov{x}_i$  -- произвольная точка отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ .

Рис.3.2.


 

На главную