Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике

Примеры вычисления интегралов Несобственные интегралы Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям Функции нескольких переменных и их дифференцирование Примеры решения задач

Несобственные интегралы Примеры решений задач

Найдём площадь фигуры, расположенной под графиком функции --> над промежутком .

Пример Рассмотрим интеграл

Свойства несобственных интегралов второго рода

Несобственные интегралы с несколькими особенностями

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx,$

Рассмотрим задачуо приближённом нахождении значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Квадратурная формула центральных прямоугольников

Квадратурная формула трапеций

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

Теорема

Следствие

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции

Квадратурные формулы более высокого порядка точности

Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул

Пусть на полуинтервале $ [a;b)$ задана функция $ f(x)$ , интегрируемая на любом отрезке $ [a;b_1]$ , где $ b_1\in[a;b)$ , однако не интегрируемая на отрезке $ [a;b]$ . В точке $ b$ эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к $ \infty$ при $ x\to b-$ , любо вовсе не иметь никакого предела при этой базе. Рассмотрим функцию

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_a^{b_1}f(x)\;dx,$

она определена при $ x\in[a;b)$ . Эта функция $ \Phi(b_1)$ может иметь предел при $ b_1\to b-$ (левосторонний предел). Этот предел мы будем называть значением интеграла от $ f(x)$ по всему полуинтервалу $ [a;b)$ и обозначать в точности как обычный интеграл:

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx.$

Итак, дадим такое определение: Интегрирование некоторых тригонометрических функций. Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

        Определение 4.6   Пусть функция $ f(x)$ удовлетворяет указанным выше условиям на $ [a;b)$ . Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл

$\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx,$

значение $ I$ которого равняется левостороннему пределу

$\displaystyle I=\lim_{b_1\to b-}\int_a^{b_1}f(x)\;dx.$

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\infty.$

    

Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при -->$ f(x)\geqslant 0$ ) исчерпание плошади неограниченной фигуры под графиком функции $ y=f(x)$ над $ [a;b)$ с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком $ [a;b_1]$ , а затем приближением правого конца $ b_1$ к точке $ b$ (см. рис.).

Рис.4.7.



Итак, площадь неограниченной фигуры, изображённой на рисунке, по определению равна значению несобственного интеграла -->$ \int_a^bf(x)\;dx$ .

На главную