Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике

Примеры вычисления интегралов Несобственные интегралы Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям Функции нескольких переменных и их дифференцирование Примеры решения задач

Площадь области, лежащей между двумя графиками

Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками и .

Пример Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками и .

Площадь в полярных координатах
Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали ( ) при и отрезком оси $ Ox$
Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью и лежащего выше горизонтальной плоскости

Пусть в плоскости рассматривается линия на отрезке .

Вычисление длины плоской линии

Найдём длину $ l$ отрезка параболы , лежащего между точками и .

Найдём длину дуги кривой ( циклоиды ), заданной на плоскости параметрическими уравнениями

Площадь поверхности вращения

Вычислим площадь поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси части линии , расположенной над отрезком $ [0;1]$ оси .

Пример Найдём площадь $ S$ области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда $ r=a{\varphi}$ ($ a>0$ ) и отрезком горизонтальной оси $ {\varphi}=0$ .

Найдём объём $ V$ тела, ограниченного поверхностью вращения линии $ y=4x-x^2$ вокруг оси $ Ox$ (при $ 0\leqslant x\leqslant 4$ ).

Вычислим длину $ l$ дуги линии $ y=\ln\cos x$ , расположенной между прямыми $ x=0$ и $ x=\frac{\pi}{3}$ .

Пример Вычислим площадь $ Q$ поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды $ x=t-\sin t;\ y=1-\cos t$ , при $ t\in[0;2\pi]$ , вокруг оси $ Ox$ .

Пусть $ f(x)$ и $ g(x)$  -- две непрерывные функции, заданные на отрезке $ [a;b]$ , причём $ f(x)\leqslant g(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ . Между графиками $ y=f(x)$ и $ y=g(x)$ лежит область $ \mathcal{D}$ , с боков ограниченная отрезками прямых $ x=a$ и $ x=b$ .

Рис.6.1.



Если обе функции неотрицательны, то есть $ f(x)\geqslant 0$ , то для вычисления площади $ S_{\mathcal{D}}$ области $ \mathcal{D}$ достаточно заметить, что она равна разности площадей областей $ \mathcal{D}_g$ и $ \mathcal{D}_f$ , лежащих между отрезком $ [a;b]$ (снизу) и, соответственно, графиком $ y=g(x)$ и $ y=f(x)$ (сверху). Для нахождения площади $ S_g$ области $ \mathcal{D}_g$ и $ S_f$ области $ \mathcal{D}_f$ применим формулу (6.1) и получим: Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Геометрические приложения определенного интеграла

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=S_g-S_f=\int_a^bg(x)\;dx-\int_a^bf(x)\;dx=\int_a^b(g(x)-f(x))\;dx.$(6.2)

Если же неравенство $ f(x)\geqslant 0$ не выполнено, то заметим следующее: функция $ f(x)$ ограничена, в том числе снизу, на $ [a;b]$ :

 

$\displaystyle f(x)\geqslant M$

при некотором $ M$ (по предположению, $ M<0$ ). Сдвинем оба графика, $ y=f(x)$ и $ y=g(x)$ , на $ \vert M\vert=-M$ единиц вверх, то есть рассмотрим функции $ f_1(x)=f(x)-M$ и $ g_1(x)=g(x)-M$ . Тогда, с одной стороны, область между графиками тоже целиком сдвигается на $ \vert M\vert$ вверх, и её площадь не изменяется; с другой стороны, оба сдвинутых вверх графика окажутся целиком не ниже оси $ Ox$ , и площадь между ними можно будет сосчитать по формуле (6.2). Заметим теперь, что

 

$\displaystyle g_1(x)-f_1(x)=g(x)-f(x).$

В итоге получаем:

 

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=S_{g_1}-S_{f_1}=
\int_a^b(g_1(x)-f_1(x))\;dx=
\int_a^b(g(x)-f(x))\;dx.$

Итак, формула (6.2) остаётся верной вне зависимости от того, как графики функций $ f(x)$ и $ g(x)$ расположены относительно оси $ Ox$ .

     

На главную