Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике

Примеры вычисления интегралов Несобственные интегралы Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям Функции нескольких переменных и их дифференцирование Примеры решения задач

Открытые и замкнутые области

     

Пример Следующие подмножества пространства $ \mathbb{R}^n$ являются открытыми областями:

Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ , очевидно, не имеет ни одной граничной точки, так что $ \partial\mathbb{R}^n=\varnothing $ .

Пример Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ является замкнутой областью, так как его граница пуста.

Связные множества

Пример Пусть $ {\Omega}$ -- область в $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ , заданная условием $ x_1\ne0$ . Эта область состоит из двух открытых полупространств $ \{x_1<0\}$ и $ \{x_1>0\}$ (и, тем самым, открыта). Покажем, что область $ {\Omega}$ не связна.

График функции нескольких переменных

Пределы функций нескольких переменных

Пример Пусть $ {\delta}>0$ . Назовём $ {\delta}$ -окрестностью точки $ x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $ B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ . Множество всех таких шаров образует, как нетрудно видеть, базу окрестностей точки $ x^0$ .

Пример

Непрерывность функции

Теорема

Ограничения функции на данное множество

Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ , заданную на плоскости $ x_1Ox_2$ , и окружность $ {\omega}=\{x_1^2+x_2^2=R^2\}$

Свойства функций, непрерывных в области

Теорема (о промежуточном значении) Пусть функция $ f$ непрерывна в связной области $ {\Omega}$ .

Частные производные

Вычислим частные производные функции двух переменных

Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$

Частные производные высших порядков

Найдём частные производные второго порядка

Дифференцируемость функции и дифференциал

Определение

Связь дифференциала с частными производными

Пример Найдём дифференциал функции трёх переменных

Теорема Пусть функция $ f(x)$ имеет в некоторой окрестности точки $ x^0$ частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x)$

Замечание

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Инвариантность дифференциала

Равенство смешанных частных производных

Следствие Пусть даны две частные производные

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

Теорема о неявной функции

Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

Пример Равенство $\displaystyle g(x;y)=x^2-y^2=0$

Производные неявно заданной функции

Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

Выпуклые множества и функции

Определение Функция $ g(t)$ , заданная на отрезке $ [a;b]$ , называется выпуклой (или выпуклой книзу ) на этом отрезке, если для всех $ t_0,t_1\in[a;b]$ и $ {\theta}\in[0;1]$ выполняется неравенство $\displaystyle g((1-{\theta})t_0+{\theta}t_1)\leqslant (1-{\theta})g(t_0)+{\theta}g(t_1),$

Определение Пусть дана квадратная матрица $ A$ размера $ n\times n$

Линейная функция $\displaystyle l(x)=c_1x_1+c_2x_2+\ldots+c_nx_n+d,$

Теорема Если функция $ f(x)$ выпукла в области $ {\Omega}$ , то функция $ g(x)=f^2(x)$ также выпукла в $ {\Omega}$ .

Теорема Любая точка локального минимума функции $ f(x)$ , выпуклой в области $ {\Omega}$ , даёт наименьшее значение функции $ f$ во всей области $ {\Omega}$ ;

Касательная плоскость к графику функции

Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

   Определение 7.1   Функцией нескольких переменных будем называть любую функцию $ f$ с вешественными значениями, область определения которой $ \mathcal{D}=\mathcal{D}(f)$  -- подмножество $ n$ -мерного пространства $ \mathbb{R}^n$ , $ n\geqslant 2$ . Таким образом,

 

$\displaystyle f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ --

это функция, аргументами которой служат точки

 

$\displaystyle x=(x_1;x_2;\dots;x_n)\in\mathcal{D}\sbs\mathbb{R}^n,$

где координаты точки $ x$ , то есть числа $ x_i\in\mathbb{R}$ ($ i=1,2,\dots,n$ ) -- те переменные, от которых зависит значение $ f(x)$ функции $ f$ .     

Нас будут интересовать функции, областями определения которых служат открытые или замкнутые подобласти $ {\Omega}$ в $ \mathbb{R}^n$ . Дадим определение того, что такое открытая и замкнутая области.

        Определение 7.2   Точку $ x^0$ множества $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ назовём внутренней точкой $ {\Omega}$ , если $ x^0$ входит в $ {\Omega}$ вместе с некоторой своей шаровой окрестностью:

 

$\displaystyle B=B^{x^0}_{{\delta}}=\{x\in\mathbb{R}^n:\ \vert x-x^0\vert<{\delta}\}\sbs{\Omega}.$

(Через $ {\delta}$ обозначен радиус шаровой окрестности $ B$ ; в качестве расстояния $ \vert\cdot\vert$ мы будем брать декартово расстояние между точками, так что расстояние между точками $ {a=(a_1;\dots;a_n)}$ и $ {b=(b_1;\dots;b_n)}$ равняется $ \vert a-b\vert=\sqrt{(a_1-b_1)^2+\ldots+(a_n-b_n)^2}$ .)

Рис.7.1.



Множество всех внутренних точек множества $ {\Omega}$ называется внутренностью множества $ {\Omega}$ и обозначается $ \mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ .

Множество $ {\Omega}$ называется открытым, если все его точки -- внутренние, то есть если оно совпадает со своей внутренностью: $ {\Omega}=\mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ . Открытое множество в $ \mathbb{R}^n$ часто называют также открытой областью.     

     

На главную