Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике Конспект лекций и примеры решения задач контрольной работы по математике

Примеры вычисления интегралов Несобственные интегралы Формула Тейлора для функции нескольких переменных Функции нескольких переменных и их дифференцирование Примеры решения задач

Примеры решения задач по теме Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Пример Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$ уравнением

Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=\sin(x^2y^3z^4).$

Пример Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$

Найдём частные производные функции по переменным $ x$ и $ y$ .

Найдём область определения функции двух переменных $\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$

Градиент и производная по направлению

    Пример 7.28   Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду)

 

$\displaystyle z=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$

в точке $ (4;4;z_0)$ .

Рис.7.27. Тройной интеграл в сферических координатах Основные свойства и приложения криволинейного интеграла первого рода



Вычислим частные производные функции

 

$\displaystyle f(x;y)=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4};$

они равны

 

$\displaystyle f'_x(x;y)=\frac{x}{8};\ f'_y(x;y)=\frac{y}{2}.$

Их значения в точке $ M_0(4;4)$ равны

 

$\displaystyle f'_x(4;4)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2};\ f'_y(4;4)=\frac{4}{2}=2.$

Сама функция в точке $ M_0$ принимает значение

$\displaystyle z_0=f(4;4)=\frac{4^2}{16}-\frac{4^2}{4}=1+4=5.$

Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности можно записать в виде

 

$\displaystyle \frac{1}{2}(x-4)+2(y-4)-(z-5)=0;$

раскрывая скобки и умножая на 2, приводим это уравнение к виду

 

$\displaystyle x+4y-2z-10=0.$

Уравнения нормальной прямой можно записать в каноническом виде:

 

$\displaystyle \frac{x-4}{\frac{1}{2}}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{-1}.$

    

     
    

На главную