Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Написать уравнение прямой l, проходящей через точки А (-1; 2; 3) и В (5; -2; 1). Лежат ли на этой прямой точки: К (-7; 6; 5), L (2; 0; 1), М (-4; 4; 4)? При каком значении m прямая l перпендикулярна прямой .

Решение: Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М (х1; y1; z1) и N(x2; y2; z2):

Прямая l: . Подставляем в эти уравнения координаты точек K, L, M, соответственно находим: ; ; . Следовательно, KÎl, MÎl, LÏl. Условие перпендикулярности двух прямых - . В данном случае для прямой .

Тогда

При   прямые перпендикулярны.

При каких значениях n и А прямая  и плоскость  будут перпендикулярны? При n = -1 и А = 3 найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.

Решение:   - условие перпендикулярности прямой и плоскости (Рис. 6).

Рис. 6

В данном случае

При А = -4; n =  прямая и плоскость перпендикулярны.

Если n = -1, то прямая имеет вид .

Если А = 3, то плоскость имеет вид .

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: . Подставляя значения x, y, z в уравнение плоскости, имеем , откуда . Подставляя теперь это значение t в параметрические уравнения прямой, находим координаты точки пересечения: , М (5; 5; -2).

Острый угол между прямой  и плоскостью  определяется по формуле . Учитывая, что  получаем

Дана прямая  и вне её точка М (1; 1; 1). Найти точку N, симметричную М относительно данной прямой.

Решение: Проведем через М плоскость a, перпендикулярную к данной прямой. a:  или .

Найдем точку Q, где эта плоскость пересекает данную прямую. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: . Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, получим , отсюда

Точка Q имеет координаты . Тогда координаты симметричной точки можно найти из формулы координат середины отрезка, т. е.  или . Откуда . Следовательно, .


Вариант 1

Проверить, является ли прямоугольным треугольник с вершинами А (4; -5), B (7; 6) и С (-7; -2). Составить уравнения его сторон.

Через точку пересечения прямых провести прямую, составляющую с осью ОХ угол 45°.

К какой из двух прямых:  точка М(-1;2) находится ближе?

Показать, что отрезки прямых   образуют трапецию. Найти внутренние углы трапеции.

Дан тетраэдр с вершинами А(1; 3; 6), В (2; 2; 1), С (-1; 0; 1) и В (-4; 6; -3). Найти длину высоты, проведенной из вершины А, и угол между гранями ВСD и АСВ . Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину А параллельно грани BCD.

Плоскость проходит через точку M (1; -3; 5) и отсекает на осях ОY и OZ вдвое большие отрезки, чем на оси ОX. Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох перпендикулярно к плоскости.

Написать канонические уравнения прямой:.

Найти точку пересечения прямой  с плоскостью  и угол между ними.

Дан треугольник с вершинами А (7; 2; -6), В (11; -3; 5), С (-3; 4; -2). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В. При каком значении m прямая   будет перпендикулярна построенной прямой?

Проверить, лежит ли прямая  на плоскости .


На главную