Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Кривые второго порядка

Контрольные вопросы

Вывести уравнение окружности.

Вывести каноническое уравнение эллипса.

Исследовать форму эллипса по его уравнению. Эксцентриситет эллипса, эксцентриситет окружности.

Вывести каноническое уравнение гиперболы. Сопряженная гипербола.

Асимптоты гиперболы. Исследование формы гиперболы по ее уравнению.

Вывести каноническое уравнение параболы.

Частные производные Решение контрольной работы по математике.

Исследование формы параболы по ее уравнению.

Преобразование координат на плоскости : параллельный перенос и поворот осей координат.

Две канонические формы равносторонней гиперболы. График дробно-линейной функции.

 Уравнения эллипса, гиперболы и параболы, оси симметрии которых параллельны осям координат.

Исследование общего уравнения второй степени

  :

а) Преобразование общего уравнения линии второго порядка к новому началу координат.

б) Центральные кривые. Необходимое и достаточное условие расположения центра кривой в начале координат.

в) Упрощение уравнения кривой с помощью поворота осей координат.

г) Инвариант  уравнения второго порядка. Признаки принадлежности кривых к эллиптическому, параболическому и гиперболическому типам.

д) План приведения к каноническому виду центральной кривой.

е) План приведения к каноническому виду нецентральной кривой.

Краткая теория, приведенная в задании, носит справочный характер и должна лишь помочь студенту в самостоятельной работе над литературой.

В общем случае кривую второго порядка определяет уравнение

  .(1)

Коэффициенты  при старших членах здесь одновременно не равны нулю. Так как уравнение отражает не только форму, но и положение линии на плоскости относительно системы координат, то в общем виде оно сложнее, чем известные нам канонические уравнения эллипса

 ,

гиперболы

   или

и параболы

   или .

Простота канонических уравнений объясняется тем, что при выводе их используется специально выбранная система координат, а именно: в случае эллипса и гиперболы начало координат выбирается в центре кривой, а координатные оси совпадают с осями симметрии; в случае параболы начало координат выбирается в вершине кривой, а одна из осей совпадает с осью симметрии.

Изменяя положение системы координат на плоскости, можно добиться такого упрощения уравнения (1), что оно станет каноническим. Т.о., наша задача состоит в том, чтобы найти новую систему координат, в которой уравнение (1) примет канонический вид.

При нахождении этой системы координат будем использовать два вида преобразований координат.

Параллельный перенос осей координат.

Даны две системы координат с разными началами  и  и одинаковыми направлениями осей (рис.1). Обозначим через  и  координаты произвольной точки  соответственно в старой  и новой  системах координат. Если  координаты нового начала  в системе , то справедливы формулы преобразования параллельного переноса осей координат

 ,  , или (2)

  ,  .

Рис. 1 Рис. 2

Поворот осей координат.

Даны две системы координат с одинаковым началом и разными направлениями осей. Пусть   (рис.2) – угол между  и  (угол поворота системы координат). Справедливы формулы преобразования поворота осей координат

  (3)

 ,

где   координаты произвольной точки в ,  координаты этой точки в новой системе координат  .

Образец задания

Дано уравнение гиперболы в виде  . Путем параллельного переноса системы координат привести ее уравнение к виду , указать асимптоты гиперболы, построить соответствующие системы координат и данную гиперболу по уравнению  .

Даны уравнения кривых второго порядка :

а)  ,

б)  .

Требуется по данному уравнению определить, какого типа кривую (эллиптического, гиперболического, параболического) оно представляет, затем следует привести это уравнение к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат, построить соответствующие системы координат и кривую по ее каноническому уравнению.

Дано уравнение кривой второго порядка

 .

Требуется привести данное уравнение путем поворота и параллельного переноса системы координат к каноническому виду. Построить соответствующие системы координат и данную кривую по ее каноническому уравнению.

а) Дано уравнение кривой в полярных координатах

  .

Требуется построить эту кривую по ее полярному уравнению.

б) Дано уравнение кривой в прямоугольных декартовых координатах

  .

Записать это уравнение в полярных координатах, а затем построить данную линию по ее полярному уравнению.

Составить уравнение линии, каждая точка которой в два раза ближе к точке , чем к началу координат.


На главную