Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Кривые второго порядка

Решение задания 1.

Из школьного курса алгебры известно, что график функции  есть гипербола, асимптоты которой параллельны  и  (см. Привалов, гл.5, §5, п.2). С другой стороны, график функции   гипербола, асимптоты которой есть  и . Таким образом, взяв за координатные оси асимптоты функции  , мы приведем эту функцию к более простому виду  (при этом пользуемся формулами преобразования параллельного переноса (2) ). Итак, в системе  задана линия уравнением

  .(4)

Выполним параллельный перенос системы  по формулам (2)

  ,  ,(2)

где   координаты нового начала  в системе ;  координаты произвольной точки в системе ;  координаты той же точки в системе .

Воспользовавшись формулами (2), запишем уравнение (4) в виде

 .

Умножим обе части этого уравнения на выражение  и раскроем скобки, получим

  .

Сгруппируем члены, содержащие  ,

  .(5)

Выберем точку  так, чтобы члены, содержащие  , обратились в нуль, т.е. положим  , откуда  координаты нового начала. Подставим эти значения в уравнение (5), имеем  , или

  . (6)

Уравнение (6) – уравнение равнобочной гиперболы, асимптотами которой являются новые оси координат.

Изобразим обе системы координат и построим данную линию по ее уравнению (6) в системе координат  (рис.3)

Рис. 3

Решение задания 2 (см. Привалов, гл.5, §6, п.3)

Пусть уравнение кривой второго порядка имеет вид

  .(7)

Такой вид уравнения определяет кривую, оси симметрии которой параллельны осям координат  (или, в случае нецентральной кривой, ось симметрии параллельна одной из осей). Выбрав в качестве новых осей координат оси симметрии, или осуществив параллельный перенос системы координат, уравнение (7) может быть приведено к каноническому виду.

Известно также, что 1) если , то уравнение (7) определяет кривую эллиптического типа ; 2) если , то гиперболического ; 3) если  параболического .


На главную