Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Первый способ решения задания 2 а).

Линия второго порядка задана уравнением

 .

В этом уравнении  . Так как , то данная линия – параболического типа. Путем параллельного переноса системы координат приведем уравнение к виду . Подставим вместо  их выражения через  по формулам (2) :  ,  , получим

, или

 , или

  .(8)

Подберем  так, чтобы  слагаемое с  и свободный член обратились в нуль, т.е. полагая  ,  , найдем  , координаты нового начала . Найденные значения  подставим в уравнение (8), получим   .

Построим системы координат  (данную) и  . Уравнение  в системе координат  определяет параболу с вершиной в точке  и осью симметрии  (рис.4).

Рис. 4

Второй способ решения задания 2 а).

Возьмем то же уравнение

и разрешим его относительно  :  .

Выделим полный квадрат относительно

   , или .

Таким образом, имеем уравнение параболы с вершиной в точке, координаты которой . Поместим начало новой системы координат в вершину параболы, в точку , и выполним параллельный перенос осей координат, используя формулы

  ,

тогда уравнение данной параболы в системе  (см. рис.4) будет  .

Решение задания 2 б).

Дано уравнение

  .

Так как ,   , то уравнение определяет кривую эллиптического типа. Приведем уравнение к каноническому виду. Сгруппируем слагаемые с   и слагаемые с

, или

,

выделим полный квадрат относительно  и

, или

 ,

окончательно имеем

 .

Перенесем начало координат  в точку  и воспользуемся формулами параллельного переноса системы координат

 ,

или, учитывая координаты выбранного начала,

  ,

тогда уравнение данного эллипса в системе  будет выглядеть так :

  .

Построим обе системы координат и эллипс.

Рис. 5


На главную