Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Решение задания 3.

Рассмотрим уравнение кривой второго порядка общего вида

 .(9)

Инвариантом  уравнения (9) называют алгебраическое выражение , составленное из коэффициентов при старших членах уравнения (9)  , которое не изменяется при любом преобразовании координат.

С помощью инварианта  определяют принадлежность кривой к определенному типу : 1) если  , то уравнение определяет кривую эллиптического типа ; 2) если  , то гиперболического типа ; 3) если  , то параболического типа.

Так как в уравнении (9) , то оси симметрии кривой не параллельны осям координат . Повернем оси координат так, чтобы они стали параллельны осям симметрии кривой, для этого воспользуемся формулами поворота осей координат (3) : ,  . Подставим выражения для  в уравнение (9), имеем

  .

Раскроем скобки и приведем подобные члены, в новых координатах   получаем уравнение

 ,(10)

где   , 

,

  ,

 ,  .

Выберем угол  так, чтобы в новой системе координат оси симметрии были параллельны осям координат , т.е. положим , или

  .

Так как , поэтому   . После поворота осей координат на этот угол в уравнении (10) исчезнет произведение переменных  .

В задании 3 дано уравнение

  . 

Так как , , то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Приведем его к каноническому виду. Для этого вначале выполним поворот системы координат  на угол , для которого  ; по формулам тригонометрии

  ,  ,  находим

  ,  ,  и записываем по формулам поворота осей координат (3)

  ,

 .

Подставим выражения  и  в данное уравнение, получим

.

Раскроем скобки, приведем подобные члены, получим

.

Выполнив параллельный перенос системы координат, приведем это уравнение к каноническому уравнению гиперболы. Для этого сгруппируем слагаемые с одноименными переменными

  ,

выделим полные квадраты относительно  ,

  , или

, или

.

Поместим начало новой системы координат  в точку , воспользуемся формулами параллельного переноса (2)

  ,  , или, учитывая координаты нового начала ,

  ,  , окончательно получим

  .(11)

Построим все три системы координат  ,  , , учитывая, что угол поворота системы  

 ,

а точка   в системе координат  имеет координаты . В систему координат   поместим кривую (гиперболу), определяемую уравнением (11).

Рис. 6


На главную