Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

К заданию 4.

Как известно, пара чисел  на плоскости определяет точку, а уравнение, связывающее  и , – линию на плоскости. Помимо декартовых, на плоскости можно построить большое число других систем координат. Каждая из систем употребляется там, где это удобнее (и декартова – чаще всех бывает удобной), но при исследовании вращательных движений самой эффективной является полярная система координат.

Рис. 7

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки   (полюса), исходящего из этой точки луча (полярной оси) и указанием единицы масштаба. Рассмотрим произвольную точку плоскости   ; обозначим расстояние точки  от полюса  через , угол, на который нужно повернуть луч  для совмещения его с , через φ . Угол φ будем понимать так, как это принято в тригонометрии (т.е. углы, получаемые при вращении полярной оси вокруг полюса против часовой стрелки, положительны ; при вращении полярной оси по часовой стрелке – отрицательны). Числа  (полярный радиус) и φ (полярный угол) называют полярными координатами точки  и записывают . Для того чтобы соответствие между точками плоскости и парами чисел  было взаимно однозначным, обычно считают, что  и  (или .

Запишем формулы, устанавливающие связь декартовых координат с полярными. Из   получим

, (12)

а также  .

Решение задания 4 а).

Построим линию, заданную уравнением

  , где  .

Для построения указанной линии составим таблицу значений  и  (придавая  значения, равные  ,  ).

Ввиду четности  значения  для  одинаковы.

На плоскости построим точки, соответствующие имеющимся в таблице парам чисел   и , в выбранной нами полярной системе координат. Соединяя последовательно эти точки, получим линию, называемую кардиоидой (Рис.8).

Рис. 8

Решение задания 4 б).

Дано уравнение кривой

  ,  .

Воспользуемся формулами (12) и запишем уравнение в полярных координатах

  , или

,

,

окончательно имеем

 . (13)

Составим таблицу соответствующих значений  и

j

0

r

0

0,51

0,71а

0,84а

0,93а

0,98а

0,98а

0,84а

0,71а

0,51а

0

Нанесем на плоскость точки, соответствующие найденным парам чисел. Соединив последовательно точки, получим линию, определяемую уравнением (13).

Рис. 9


На главную