Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Начала анализа

Вариант решения заданий

Вычислить предел последовательности

.

Решение. Распишем факториалы, стоящие в числителе и знаменателе через наименьший, то есть через .

Ответ. 0.

Доказать, что .

Решение. По определению, предел функции  при  равен 7, если для любого  существует такое , что для всех  из  - окрестности точки  таких, что  справедливо неравенство:

 Тогда . Следовательно, разность между значениями функции и числом 7 меньше  для всех  из  окрестности точки . Тем самым утверждение, что  доказано.

Вычислить пределы функций.

А) Найти

Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью. Для этого найдем пределы числителя и знаменателя дроби. Функции  и  являются бесконечно большими. Поэтому, . Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида .

Для раскрытия этой неопределенности выделим в числителе и в знаменателе   в старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и сократим дробь.

Ответ. 0.

Б) Найти

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на общий множитель.

Ответ. -9.

В) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а затем сократить дробь на общий множитель.

Ответ. .

Г) Найти

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно выделить первый замечательный предел:

Ответ. k.

Д) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел:.

Ответ. .


На главную