Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы

  .

Решение.

Говорят, что квадратная матрица имеет ступенчатый вид, если ниже ее главной диагонали стоят нулевые элементы. Матрица приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований : а) перестановка строк, б) умножение строки на число, в) прибавление к одной строки другой, умноженной на некоторое число. Ранг матрицы  , , равен количеству ненулевых строк эквивалентной ей матрицы ступенчатого вида.

В первом столбце данной матрицы  ниже первого элемента получим нулевые элементы с помощью преобразования в). Последовательно умножим первую строку матрицы на (–2) и прибавим  ко второй строке, умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

  .

В полученной матрице во втором столбце во второй строке и ниже второй строки отсутствуют единицы. Единицу можно получить, умножив вторую строку на (), или поделив на (–5) , а затем во втором столбце ниже второго элемента получить нули с помощью преобразования в), при этом будут возникать дробные числа. Во избежание вычислений над дробями получим единицу во втором столбце второй строки иначе: ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на (–1), результат запишем на месте второй строки. Далее, поделим третью строку на (–2), четвертую строку на (–1), имеем

 .

Во втором столбце полученной матрицы ниже второго элемента получим нулевые элементы. Последовательно умножим вторую строку полученной матрицы на 2 и прибавим к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, затем третью строку поделим на 9 , четвертую строку поделим на 18. Во вновь полученной матрице в третьем столбце ниже третьего элемента получим нулевой элемент: третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, имеем

  .

Отсюда заключаем, что  .

4. Выполнить действия с матрицами

  .

Решение. Обозначим

  ,  ,  ,  .

Произведение  имеет смысл, так как число столбцов матрицы  равно числу строк матрицы . Находим матрицу  , элементы которой  ,  . Имеем

  .

Произведение  имеет смысл, так как тоже число столбцов матрицы  равно числу строк матрицы  . Находим матрицу  , элементы которой  ,  . Имеем

  .

Разность  имеет смысл, так как матрицы  и  имеют одинаковую размерность  . Находим искомую матрицу  , элементы которой  ,  . Имеем

  .

Ответ : Результатом действия данных матриц является матрица

   .


На главную