Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Теорема Ролля, Лагранжа и Коши.

Теорема Ролля

Если функция :

непрерывна на отрезке [a, b]

имеет конечную производную в каждой точке интервала (a, b)

принимает равные значения на концах отрезка, , то в интервале (a, b) существует по крайней мере одна точка с, в которой производная функции обращается в нуль: .

Функция   на концах отрезка [0, 4] принимает равные значения .

Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке [0, 4]?

Решение:

Найдем . При ,  не существует. Нарушено второе условие теоремы Ролля.

Теорема Лагранжа.

Если функция :

непрерывна на отрезке [a, b]

имеет конечную производную в каждой точке интервала (a, b), то найдется по крайней мере одна внутренняя точка с интервала (a, b), , для которой .

Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для функции  и найти соответствующее промежуточное значение с.

Решение:

Функция   непрерывна и дифференцируема для всех значений , причем . Отсюда по формулам Лагранжа имеем

Следовательно, ; годится только значение , для которого справедливо неравенство .

Теорема Коши.

Пусть функции  удовлетворяют следующим условиям:

непрерывна на отрезке [a, b]

имеют конечные производные во всех точках интервала (a, b)

 для любого , то внутри отрезка [a, b] найдется такая точка , , что

Проверить справедливость формулы Коши для функций  на отрезке [1; 2].

Решение:

Функции  непрерывны и дифференцируемы при всех значениях . Производные данных функций равны соответственно . На отрезке [1, 2], .

Тогда между двумя значениями и  существует значение , удовлетворяющее равенству

.


На главную