Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Теория вероятностей

Разбор типовых задач

Задача 1. В партии из 10 деталей две бракованные. Найти вероятность того, что среди выбранных на удачу четырех деталей окажется одна бракованная.

 Решение: Пространство элементарных исходов представляет собой в этом случае множество всевозможных упорядоченных наборов из четырех любых деталей. Общее число таких элементарных исходов равно . Пусть событие А состоит в том, что в выборку попадут три годных детали и одна бракованная. Три годные детали из восьми можно взять  способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов .

Задача 2. В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка . Пусть  и  – координаты этой точки. Найти вероятность того, что сумма координат этой точки не превзойдет 0,5.

Решение: В прямоугольной системе координат область  – квадрат со стороной 1, а область  – определяется неравенством .

Область  – квадрат, поэтому мера   равна 1. Область  – прямоугольный треугольник, катеты которого равны по 0,5. Таким образом, .

Задача 3. По каналу связи передаются три сообщения, каждое из которых может быть передано правильно или частично искажено. Вероятность того, что сообщение передано правильно – 0,8. Считая, что сообщение искажается или передается правильно не зависит от количества передач и от результата предыдущей связи найти вероятности следующих событий:

{ все три сообщения переданы верно}

{ одно из трех сообщений искажено}

{ хотя бы одно из трех сообщений искажено}

Решение: Обозначим через  событие, состоящее в том, что -ое сообщение передано верно. Событие . Применяя теорему умножения для независимых событий и учитывая, что , вычислим .

Событие   можно выразить через события ,  и  следующим образом: . Применяя теорему сложения несовместных событий и теорему умножения, найдем вероятность этого события:

*.

Событие . Теорему сложения для несовместных событий применить нельзя, так как события ,  и  совместны. Вероятность события  удобно вычислять через вероятность противоположного события . Вычислим .

Задача 4. Монета подброшена 5 раз. Какова вероятность, что герб появится не более 2 раз?

Решение: В этой задаче . По формуле Бернулли находим вероятность события .

.

Задача 5. Производится 400 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность 320 попаданий в мишень; в) вероятность того, что число попаданий в мишень будет не менее 300 и не более 350.

Решение: а) найдем наивероятнейшее число  попаданий в мишень из неравенства . По условию задачи . Тогда получим , значит, .

б) при больших  () имеет место приближенное равенство (локальная теорема Лапласа):

.

в) при больших  () имеет место приближенное равенство (интегральная теорема Лапласа): . На основании этой формулы получим:

.

Задача 6. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна =0,1. Сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544,можно было бы утверждать, что относительная частота появления нестандартной детали отклонится от вероятности  не более, чем на 0,03?

Решение: По условию ;. Для решения воспользуемся формулой: . В силу условия задачи . По таблице находим . Отсюда  или.

Задача 7. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента

Решение. Для работы схемы необходимо, чтобы одновременно происходили следующие события:

А={работал хотя бы один из элементов };

В={работал хотя бы один из элементов };

С={работал элемент };

D={работал элемент };

Е={ работал хотя бы один из элементов };

Вычислим вероятности этих событий:

Р(А)=;

Р(В)=;

Р(С)=;

Р(D)=;

Р(Е)= .

События А, В, С, D, Е – независимы, по теореме умножения вероятностей получим:

Р=[][][].


На главную