Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Задача 8. Решить интегральное уравнение

Решение: Интеграл представляет собой свертку функций  и . Пусть . Тогда по теореме о свертке выпишем изображение интеграла . Составим теперь операторное уравнение , откуда . И, значит, .

Задание 9. Найти изображение функции, заданной следующим графиком:

Решение. Согласно графику функции (обозначим ее через ), имеем:

Поэтому ее изображение можно найти, используя формулу преобразования Лапласа:

.

Ответ. .

Задание 10. Контур подключен к постоянной э.д.с. (см. рис.) При установившемся режиме включается рубильник  и накоротко замыкает сопротивление. Найти выражение переходного тока. .

Решение. Дифференциальное уравнение Кирхгофа до включения рубильника   в данном случае имеет вид:

Согласно постановке задачи . Решим это уравнение операционным методом, предполагая, что .

.

Найдем оригинал получившегося изображения, разложив дроби на простые слагаемые методом неопределенных коэффициентов:

 

Таким образом, .

Установившийся ток в контуре до включения рубильника  есть . Дифференциальное уравнение Кирхгофа после замыкания  рубильника  имеет вид:

.

Решим это уравнение операционным методом.

.

Как и в предыдущем случае воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для разложения изображения на слагаемые.

Оригиналом получившейся разности, как нетрудно заметить, будет .

Ответ. .


Вариант 1

Является ли оригиналом функция

Найти изображения оригинала:

Найти оригиналы, соответствующие изображению:

Не вычисляя интегралы, найти изображение

Вычислить интеграл

Найти решение задачи Коши

Решить систему уравнений

Решить интегральное уравнение  

В контур (см. рис.) при нулевых начальных условиях подключена э.д.с. . Найти выражение переходного тока при  при условиях колебательного процесса.

Найти изображение функции заданной следующим графиком:

 


На главную