Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Теория поля

Пример 2: Найти градиент скалярного поля  

. Построить поверхности уровня для заданных значений .

Решение

По определению градиента скалярного поля .

Находим частные производные функции :

Таким образом .

Аналогично пункту а), получим:

Таким образом .

Построим поверхности уровня:

Тогда ,  ‑ конус с вершиной в начале координат.

Если , то :

   

  

 

Однополостный Двуполостный

гиперболоид вращения гиперболоид вращения

вокруг оси  вокруг оси

Пример 3: Найти векторные линии векторного поля :

Решение:

Согласно определению, векторных линий:

, или .

Решая систему, получаем . Таким образом, векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси , лежащие в плоскостях, перпендикулярных этой оси.

Аналогично предыдущему пункту, составляем систему

.

Решим ее методом составления интегрируемых комбинаций:

Равенство   образует первую интегрируемую комбинацию. Получаем . Для получения еще одной интегрируемой комбинации используем свойство пропорции: .

Тогда, в нашем случае . Интегрируя данное равенство, получаем .

Таким образом, векторные линии задаются системой:

Т.е. векторные линии данного поля являются линиями пересечения гиперболических цилиндров  с плоскостями .


На главную