Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Пример 4. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями   .

Решение:

Вычислим поток векторного поля по формуле:

, где  ‑ нормальный единичный вектор к поверхности . Найдем вектор . Запишем уравнение поверхности  в неявном виде: .

Тогда . Т.к.   (по условию задачи), то  образует острый угол с осью :

Следовательно, .

Поток векторного поля . Спроектируем поверхность :  на плоскость , получим область , ограниченную линиями: .

=

Таким образом,

(применяя подстановку , получаем) = .

Пример 5. Вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону части поверхности , расположенной над плоскостью .

Решение:

Замкнем данную поверхность куском плоскости , который ограничен окружностью . Тогда можем применить формулу Гаусса-Остроградского.

Пусть ‑ объем полученного тела, ограниченного замкнутой кусочно-гладкой поверхностью , состоящей из части  параболоида вращения  и части  плоскости .

Поток данного векторного поля через поверхность  по теореме Гаусса-Остроградского равен:

, где .

.

Следовательно, поток

.

В силу аддитивности потока будем иметь

Отсюда искомый поток

Найдем . Так как на плоскости , имеем

,  и тогда

Таким образом, поток  через круг  будет равен площади круга : .

Искомый поток .


На главную