Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Системы линейных алгебраических уравнений

Задание к работе

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

5. При каких значениях  система уравнений имеет нетривиальные (ненулевые) решения ? Найти эти решения.

Образец решения варианта.

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений

  .

Решение.

Решение системы находим по формулам Крамера

.

Вычислим определитель системы

.

Последовательно заменив в , первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим соответственно

  ;

 ;

.

Ответ :  .

2. Дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Установить, что система уравнений имеет единственное решение и найти его с помощью обратной матрицы

.

Решение.

Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение (теорема Крамера).

Вычислим определитель данной системы :

,

следовательно, система имеет единственное решение.

Данную систему можно записать в матричной форме :

 , где  ,  ,  .

Так как  , то для матрицы   существует обратная матрица . Умножив матричное уравнение  слева на , получим  , откуда , или  .

Найдем обратную матрицу  по формуле

  ,

где  алгебраическое дополнение элемента  .

  ,

 ,

  .

 .

Тогда 

  .

Ответ :  .


На главную