Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Пример 6. Вычислить работу векторного поля  вдоль линии , являющейся пересечением параболического цилиндра  с плоскостью  от точки  до точки .

Решение:

Зададим линию  параметрически: положив , получим , а . Тогда , , . Точке  соответствует значение параметра , а точке ‑ значение .

Таким образом:

.

Пример 7. Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль периметра треугольника с вершинами .

Решение:

По определению циркуляции , получаем

.

На отрезке , следовательно

.

На отрезке , следовательно

.

На отрезке , следовательно

.

Следовательно,  

Пример 8. Найти циркуляцию вектора  по контуру  непосредственно и по формуле Стокса.

Решение:

I способ.

Контур  - окружность радиуса , лежащая в плоскости . Выберем ориентацию как показано на рисунке, т.е. против часовой стрелки. Параметрические уравнения окружности имеют вид , так что

II способ.

Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность , натянутую на контур . Естественно в качестве  взять круг, имеющий контур  своей границей. Уравнение поверхности  имеет вид: . Согласно выбранной ориентации контура нормаль к поверхности необходимо взять равной .

Далее .

В силу теоремы Стокса


На главную