Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Пример 9. Доказать, что векторное поле  является потенциальным. Найти его потенциал.

Решение:

Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является равенство нулю вихря поля. В нашем случае

.

Таким образом, поле является потенциальным.

Обозначим   - искомый потенциал. По определению потенциального поля, поле градиента искомой функции  должно совпадать с векторным полем . Поэтому

. Отсюда , где  - некоторая функция аргументов  и . Из условия , можно сделать вывод, что . Таким образом, . Неопределенную функцию  найдем из условия . Решением последнего уравнения является функция .

В итоге потенциал имеет вид .

Пример 10. Пусть  - произвольные векторные поля. Показать, что  (символом  обозначено скалярное произведение векторов).

Решение:

Пусть  и   - произвольные векторные поля. Найдем векторное произведение .

.


Вариант 1.

Задание 1. Найти производную скалярного поля  в точке  по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси :

,

.

Задание 2. Найти градиент скалярного поля  и построить поверхности уровня для заданных значений :

,  где  ‑ радиус-вектор точки поля, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля  через

полную поверхность цилиндра ;

основание этого цилиндра, лежащее в плоскости  в положительном направлении оси .

Задание 5. Найти поток векторного поля  через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону однополостного гиперболоида , ограниченного плоскостями .

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии  от точки  до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля  вдоль контура  в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля  по контуру  непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Найти , где ,  - радиус-вектор точки поля,  ‑ постоянный вектор.


На главную