Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Элементы теории функций комплексного переменного
Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Решение.

Для того чтобы найти образ области  при отображении , нужно найти образ границы  области , затем взять произвольную точку из области  и найти ее образ.

Правило для определения уравнения образа кривой.

Пусть в области  кривая задана . Чтобы найти уравнение образа  этой кривой в плоскости  при отображении с помощью функции , нужно исключить  и  из уравнений:

  (1)

Если кривая задана параметрическими уравнениями:

  или ,

 то параметрические уравнения её образа при отображении  будут

В данном примере граница области  состоит из трех частей:  . Найдем ее образ при данном отображении.

Выделим и действительную и мнимую части функции.

;

, .

Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):

Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:

.

Окончательное уравнение границы  при .

Аналогично находим образ :  при .

Образ   находим из системы:

Следовательно, образ границы :  при  и  при ; . Изобразим образы границ  на плоскости .

Для изображения образа области  на плоскости  возьмем контрольную точку. Точка  обратится в точку .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) , ;

б) , .

Решение.

а) Функция  имеет две особые точки  и . Отметим их на плоскости Z, проведем 2 окружности с центром в точке , проходящие соответственно через точки  и . Следовательно, имеется три области, в каждой из которых функция  является аналитической:

1);

2) кольцо ;

3) область , являющаяся внешностью круга .

Найдем ряды Лорана для функции  в каждой из этих областей, используя формулу

  (1)

справедливую при .

Представим функцию  в виде суммы элементарных дробей:

.

1) Рассмотрим круг . Запишем элементарные дроби  и  в виде , где  при . Представим функцию  следующим образом: . Теперь к таким дробям применима формула (1).

Так как в рассматриваемой области , то в силу формулы (1) . Так как  и тем более  (если , то тем более ), значит, в силу формулы (1) .

Следовательно, ==

Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где .

Так как , то  и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, .

Следовательно, ==.

Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .

В рассматриваемой области , значит  и поэтому

.

Функцию  представим в виде . В силу полученных разложений имеет место равенство

=.

Полученное разложение содержит только главную часть ряда Лорана.

б) Функция  имеет 2 особые точки  и , отметим их на плоскости Z. Точка  совпадает с точкой . Проводим окружность с центром в точке , проходящую через точку .

Следовательно существуют две области, в каждой из которых функция   является аналитической:

1) кольцо

2) кольцо

Найдем ряды Лорана для функции  в каждой из этих областей, используя формулу (1). Представим функцию  в виде суммы элементарных дробей:

1) Требуется получить разложение функции  по степеням z–1 в области . Первая дробь уже представляет собой степень . Для того, чтобы вторую дробь представить в искомом виде, сделаем замену , тогда  и . Дробь  разложим по степеням  как в предыдущем примере. При  воспользуемся представлением:

;

Сделаем обратную замену. Получим, что при  функция  представима в виде

.

Полученное разложение содержит правильную и главную часть ряда Лорана.

2) Аналогично, сделав замену , получаем представление дроби  в области  

Сделав обратную замену, получаем, что при  функция  представима в виде:

.

В первом случае главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое, во втором случае ряд Лорана состоит только из одной главной части.


На главную