Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:

а) ;

б) .

Решение.

а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки  и . Тогда .

Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.

, следовательно

, следовательно   - полюс.

Так как , то  - полюс порядка .

.

Таким образом, .

б). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки  и . Тогда .

Так как   и  - полюсы первого порядка, то для вычисления вычетов применим формулу, где , .

Таким образом, .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть  - рациональная функция, , где  и  - многочлены степени  и  соответственно. Если функция  непрерывна на всей действительной оси и , т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то

где  означает сумму вычетов функции  по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция  четная, то =. Построим функцию , которая на действительной оси (при ) совпадает с подынтегральной функцией . Особые точки функции  - это точки  и . Из них в верхней полуплоскости находится точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции  относительно полюса  равен =. Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то . Следовательно, =.

б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть   - рациональная функция, , где  и  - многочлены степени  и  соответственно. Если функция  непрерывна на всей действительной оси, ,  - произвольное действительное число, то

;

где   означает сумму вычетов функции   по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция  является четной, то =. Построим функцию = такую, что  на действительной оси (при ) совпадает с : . Отметим, что при  справедливо равенство . Функция  имеет в верхней полуплоскости полюс первого порядка в точке . Вычет функции   относительно этого полюса равен =. Следовательно, = и =.

в) Сформулируем правило, позволяющее вычислить определенный интеграл функции, зависящей рационально от тригонометрических функций с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть   - рациональная функция аргументов  и ,  и функция  непрерывна внутри промежутка интегрирования. Полагаем , тогда , , , . В этом случае

=

где   есть сумма вычетов функции  относительно полюсов, заключенных внутри окружности .

В рассматриваемом интеграле применим подстановку  и после преобразований получим: =. Внутри круга радиуса 1 с центром в начале координат содержится только одна особая точка подынтегральной функции  - это точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции  относительно точки   равен =. Следовательно, =.


Вариант №1

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) ;

б) .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б) .

Задание 6. Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции  найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

;

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.


На главную