Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Задача 8.7. а) Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями  

Решение. Считаем плотность однородной пластины  Тогда ее статические моменты относительно осей ОХ и ОУ определяются формулами: , а координаты ее центра тяжести  определяются формулами: , где  - масса однородной пластины D с плотностью  Применяя эти формулы, получаем:

,

  Тогда .

б) Доказать, что работа силы  зависит только от начального и конечного положения точки ее приложения и не зависит от формы пути. Вычислить работу при перемещении точки приложения силы из  в

Решение. Проверяем условие, достаточное для того, чтобы работа силы  по перемещению точки по дуге  не зависела от формы пути:

 ,

 , то есть .

При этом функции  непрерывны в любой односвязной области D, содержащей

Тогда, для вычисления работы А = находим криволинейный интеграл 2-го рода

  В силу независимости этого интеграла от пути интегрирования вычислим его вдоль ломаной  где точка :

Тогда

При вычислении криволинейного интеграла 2-го рода по  меняется от 0 до 1,  а при вычислении аналогичного интеграла по  а  меняется от 0 до 1.

Задача 8.8  а) Найти величину и направление наибольшего изменения поля   в точке

Решение. Доказано (см. [1],  [2], [5], [6]), что скалярное поле U(M) имеет в данной точке М0 максимальную производную по направлению , которая равна модулю градиента поля U в этой точке:

 

если за вектор , указывающий направление дифференцирования, взять направление вектора gradU(M0). Поэтому в задаче требуется найти сам вектор

 

Приведем соответствующие вычисления:

  ,

 ,

 ,

 

б) Выяснить, является ли векторное поле  потенциальным.

Решение. Векторное поле  потенциально, если в каждой точке М из области определения поля  Находим 

В этой формуле для удобства запоминания метода вычисления ротора использован формальный оператор Гамильтона «набла»:

 ,

действующий по правилу нахождения векторного  произведения в прямоугольных декартовых координатах.

 Для других типов полей, исследуемых в задании 8, приведем их определения:

Соленоидальное поле  в каждой точке М области V удовлетворяет условию

  .

Гармоническое поле  является в каждой точке области V одновременно потенциальным и соленоидальным, то есть  и 

В нашем случае  Тогда

  следовательно, поле  не является потенциальным.


На главную