Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Ряды.

Числовые ряды.

Функциональные ряды.

Степенные ряды.

Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям.

Ряды Фурье.

Решение типового варианта контрольной работы.

Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

Решение.

В данном случае  

Вычислим

Следовательно, ряд расходится.

Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.

Для рассматриваемого ряда

;

Вычислим

Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.

Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда

Вычислим

В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.

Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь  

Вычислим

Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.

Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его

Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.

Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:

Полученный ряд эквивалентен исходному, так как

Таким образом, исходный ряд и ряд  сходятся и расходятся одновременно. Т.к. ряд   сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.

Так как , то

.

Ряд  расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.

Оценим общий член ряда:

.

Ряд

Ряд   сходится , следовательно, эквивалентный ряд  также сходится. Т.к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.


На главную