Вычислить определитель Метод  Крамера Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Вычислить предел Найти производные Комбинаторика Теория поля Вычислить интеграл числовые ряды

Типовик по математике

Аналитическая геометрия

Образец решения варианта

Даны вершины треугольника: А (1,-3), В (2,5) и С (8,1). Найти точку пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты – из вершины В, а также длину медианы, проведенной из вершины А.

Решение:

Рис. 1

Составим уравнение медианы АD. Координаты точки D определяем по формулам координат середины отрезка .  D (5; 3). Используем уравнение прямой, проходящей через две точки . Получаем .

Уравнение медианы AD: .

Составим уравнение высоты, проведенной из вершины В. Так как ВЕ ^ АС, следовательно . Угловой коэффициент прямой АС определяем по формуле . Следовательно, . Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку М0 (x0,y0) в данном направлении .

Уравнение высоты из вершины В: , .

Для нахождения координат точки пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты, проведенной из вершины В нужно решить совместно из уравнения . Точка О (4;).

Длина медианы определяется по формуле расстояния d между точками А (x1,y1)и D (x2,y2) на плоскости .

А (1,-3), D (5,3) .

Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и образующих с прямой .

Решение:

Рис. 2

Уравнения искомых прямых имеют вид , так как прямые проходят через начало координат. Задача имеет два решения (Рис. 2). Для решения используем формулу , причем, поскольку нас интересует острый угол, правую часть формулы возьмём по абсолютной величине. Пусть угловой коэффициент одной из искомых прямых равен k. Угловой коэффициент заданной прямой равен 3. Так как угол между этими прямыми равен , то .

Тогда , отсюда  и .

Решая каждое из получившихся уравнений, находим, что угловой коэффициент одной из прямой , а другой . Уравнения искомых прямых .


На главную